當談到基金投資目標的公式推導時，我們通常會考慮投資組合理論的基本原理。投資組合理論的核心思想是通過分散投資來最小化風險，同時獲得合理的回報。基金投資目標的公式推導可以基於以下幾個關鍵因素：
1.預期回報率：這是投資者預期在一段時間內從投資中獲得的回報率。通常，我們用過去的收益率數據、行業趨勢分析以及公司基本面等因素來估計未來的預期回報率。
2.風險：風險通常被衡量爲投資波動的標準差或方差。更高的波動性意味着更大的風險。投資者通常會尋求最小化風險，以保護他們的資產。
3.投資期限：投資者計劃在多長時間內持有投資。較長的投資期限通常意味着投資者可以承擔更多的風險，並且有更多的時間來實現投資目標。
4.風險偏好：這是指投資者對風險的容忍程度。有些投資者更願意承擔更高的風險以獲取更高的回報，而有些投資者則更喜歡保守的投資策略。
基於上述因素，我們可以通過資本資產定價模型或馬科維茨投資組合理論等方法來推導基金投資目標的公式。
1.資本資產定價模型：
CAPM模型認爲，投資的預期回報率應該與風險無關，而與市場風險溢價和個股與市場相關性有關。CAPM模型的公式可以表示爲：
\[E(R_i)=R_f\beta_i\times(E(R_m)R_f)\]
其中，\(E(R_i)\)是資產\(i\)的預期回報率，\(R_f\)是無風險利率，\(\beta_i\)是資產\(i\)的貝塔係數，\(E(R_m)\)是市場的預期回報率。
2.馬科維茨投資組合理論：
馬科維茨理論認爲，投資者可以通過構建有效前沿來找到最優的投資組合，即在給定風險水平下獲得最高的預期回報率或在給定預期回報率下獲得最低的風險。
假設有\(n\)個資產，我們可以構建資產權重向量\(w=(w_1,w_2,...,w_n)\)，其中\(w_i\)表示第\(i\)個資產的權重，滿足以下條件：
1.權重之和爲1：\(\sum_{i=1}^{n}w_i=1\)
2.風險的加權平均不超過某一給定的風險水平：\(\sum_{i=1}^{n}w_i\sigma_i\leq\sigma_{target}\)
3.最大化預期回報：\(Maximize\:E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}w_iE(R_i)\)
其中，\(E(R_p)\)表示投資組合的預期回報率，\(\sigma_i\)表示資產\(i\)的標準差，\(\sigma_{target}\)表示給定的風險水平。
通過解決這個優化問題，我們可以得到最優的資產配置，即基金投資目標的公式。
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